Сравнение дробей; приведение к общему знаменателю

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковым числителем та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Например,

1/3 > 1/4,
5/7 > 5/9.

Сравнене дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковым знаменателем та дробь больше, у которой числитель больше. Например,

5/8 > 3/8.

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить две дроби, у которых различны и числитель и знаменатель, нужно одну или обе дроби преобразовать так чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Дли этого можно например, первую дробь расширить на знаменатель второй, а вторую на знаменатель первой.

Пример 1.
Сравним дроби 3/8 и 7/12.
Расширяем первую дробь на 12, а вторую, на 8, имеем:

3/8 = 36/96; 7/12 = 56/96.
Теперь знаменатели одинаковы.
Сравнив числители, видим, что вторая дробь больше первой.

Примененное преобразование дробей называется приведением их к общему знаменателю.

Чтобы привести к общему знаменателю несколько дробей, можно каждую из них расширить на произведение знаменателей остальных. Например, чтобы привести к общему знаменателю дроби 3/8, 5/6, 2/5, расширим первую на
5*6=30,
вторую на 8*5=40;
третью на 8*6=48.
Получим
3/8=90/240;
5/6=200/240;
2/5=96/240.
Общим знаменателем будет произведение знаменателей всех данных дробей (8*6*5=240).

Этот способ приведения к общему знаменателю - самый простой и во многих случаях самый практичный. Единственное его неудобство состоит в том, что общий знаменатель может оказаться довольно большим, тогда как можно выбрать его меньшим.

Именно, за общий знаменатель можно взять любое общее кратное (в частности, О.Н.К.) данных знаменателей. Тогда нужно расширить каждую дробь на частное, получаемое от деления общего кратного на знаменатель взятой дроби (это частное называется дополнительным множителем).

Пример 2.
Даны дроби 3/8, 5/6, 2/5. О.Н.К. знаменателей 8, 6, 5 есть 120.
Дополнительные множители:
120:8=15;
120:6=20;
120:5=24.
Расширяем первую дробь на 15, вторую на 20, третью на 24. Получаем:
3/8=45/120;
5/6=100/120;
2/5=48/120.

В учебниках арифметики часто излагается только этот прием приведения к общему знаменателю. На практике он оправдывается, однако, лишь в том случае, если О.Н.К находится легко по догадке. В противном случае приходится затрачивать много времени на отыскание О.Н.К и дополнительных множителей. Сверх того, часто оказывается, что О.Н.К не намного меньше произведения знаменателей или даже вовсе не меньше его, и тогда затраченное время и труд совершенно бесполезны.