Простые арифметические действия над числами. Свойства


Арифметические действия

1. Сложение

Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально. Запись сложения:

8+3=11,
где 8 и 3 - слагаемые;
11 - сумма.

2. Вычитание

Вычитание есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое - вычитаемого, искомое слагаемое - разности. Запись вычитания:

15-7 = 8;
15 - уменьшаемое,
7 - вычитаемое,
8 - разность,
Разность 8, сложенная с вычитаемым 7, дает уменьшаемое 15.
Сложение 8+7=15 является проверкой вычитания 15-7 = 8.

3. Умножение

Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) - значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением. Запись умножения:

12*5=60,
12 - множимое,
5 - множитель,
60 - произведение.
12*5=12+12+12+12+12.

Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.
Например,

2*5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2=10 и 5*2 = 5 + 5= 10.
Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

4. Деление

Деление есть нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение получает название делимого, данный сомножитель - делителя, искомый сомножитель - частного.
Запись деления:

48 : 6 = 8; 48 - делимое, 6 - делитель, 8 - частное.
Произведение делителя 6 и частного 8 дает делимое 48(проверка деления).
Пишут также 48/6=8.

Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом; тогда это частное можно представить дробью. Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится или, короче, делится на второе.

Например, 35 делится (нацело) на 5, ибо частное есть целое число 7.
Второе число в этом случае называется делителем первого, первое же - кратным второго.

Пример 1
5 есть делитель чисел 25, 60, 80 и не является делителем чисел 4, 13, 42, 61.

Пример 2
60 есть кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным чисел 17, 40, 90.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое. В случае, когда делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком.

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком; он всегда меньше делителя.

Пример 3
19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2, 3 в произведении с 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимое 19, но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19. Поэтому неполное частное есть 3. Разность между 19 и произведением 3-5=15 есть 19-15 = 4; поэтому остаток есть 4.

5. Возведение в степень

Возвести число в целую (вторую, третью, четвертую и т. д.) степень значит повторить его сомножителем два, три, четыре и т. д. раз. Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени. Результат называется степенью.
Запись;

З2=9; здесь 3 - основание степени, 2 - показатель степени, 9 -степень; 32=3*3. Вторая степень называется также квадратом, третью степень - кубом. Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня

Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.

Запись,(кубический корень)27=3. Здесь 81-подкоренное число, 3 - показатель корня, 3- корень. Возведение числа 3 в третью степень дает 27; 3(в четвертой степени) = 81 (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным; корень третьей степени - кубичным. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными действиями.

Яндекс.Метрика