Умножение дробей. Определение

Для умножения и деления дроби на целое число можно сохранить данные выше. Например,

2(3/4) * 3 = 2(3/4) + 2(3/4) + 2(3/4) = 8(1/4).
Обратно,
8(1/4) : 3 = 2(3/4).

Практические правила вычисления см. ниже. Для умножения на дробное число классическое определение выполнить нельзя.
Например,
действие 2(1/2) * 3/4 нельзя выполнить, если его понимать так,что 2(1/2) требуется взять слагаемым 3/4 раза.
Умножить некоторое число (целое или дробное) на дробь — значит разделить это число на знаменатель дроби и результат помножить на числитель.

Пример 1.
800 * 3/4; 800 : 4 = 200; 200 * 3 = 600,
так, что 800 * 3/4 = 600.

Порядок действий (деления и умножения) можно изменить; результат будет тот же:
800 * 3 = 2400,
2400 : 4 = 600.

Приведенное определение не является произвольным измышлением: оно вытекает из необходимости полностью сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в практике и в теории, пока мы имели дело с целыми числами. Убедимся в этом на двух примерах.

Пример 2.
Литр керосина весит 800г.
Сколько весят 4л?
Решение:
800 * 4 = 3200(г) = 3кг 200г. Результат найден умножением на 4.

Сколько весят 3/4 л керосина?
Решение: 800 * 3/4 = 600 (г).

Если мы умножению на дробь дадим определение, отличающееся от выше приведенного, мы получим неправильный ответ. Если бы мы, исходя из определения умножения, признали умножение на 3/4 невозможным, нам пришлось бы решать задачу о весе керосина разными действиями: при целом числе литров умножением, а при дробном числе иным, действием.

При перемножении целых чисел произведение не меняется от перестановки сомножителей: 3 * 4 = 4 * 3=12. Это свойство сохраняется и при умножении на дробь.
Например,
2/3 * 3 = 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2;
этот результат получен на основе прежнего определения. Переставим сомножители: 3 * 2/3; прежнее определение умножения теперь не годится, но новое дает 3 * 2/3 = 2

Вообще оказывается, что при новом определении умножения остаются в силе все прежние свойства и правила, за исключением одного: при прежнем определении умножения число увеличивалось, отсюда и название «умножение» (от слова «много»). Теперь же мы должны сказать: от умножения на число, большее единицы, множимое увеличивается; от умножения на число, меньшее единицы (т. е. на правильную дробь), оно уменьшается.

Несоответствие последнего факта с названием действия объясняется тем, что название «умножение» восходит к тем отдаленным временам, когда понятие умножения относили только к целым числам.