Что такое натуральный логарифм e, определение, свойства

Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10. Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, а именно иррациональное число е = 2,718 281 83 (с точностью до восьмого десятичного знака). Этот поразительный на первый взгляд факт полностью можно разъяснить только в высшей математике; здесь мы покажем лишь, откуда это число появляется. Оно находится в тесной связи с тем способом вычисления логарифмов, который был объяснен в сущности логарифмического метода.

Когда мы берем за основание число 1 + 1/n, близкое к единице, например, 1,00001 (n = 100000), то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например, число 3 имеет логарифм 109861. Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и самое число 3, его следовало бы уменьшить в n = 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861. Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не

1 + 1/n = 1,00001, а (1 + 1/n)ⁿ = 1,00001¹⁰⁰⁰⁰⁰

Действительно, мы имеем:

3 = (1,00001)¹⁰⁹⁸⁶¹ = 1,00001^{100000.1,09861} = (1,00001¹⁰⁰⁰⁰⁰)^1,09861

Если мы вычислим величину 1,00001^{100 000}, то с точностью до восьмого десятичного знака найдем;

(1 + 1/n)ⁿ = 2,71826763 (n = 100000).

Это число уже очень близко к числу е; оно имеет одинаковые с числом е первые пять цифр. Если бы мы положили в основание не 1,00001, а еще более близкое к 1 число, например 1,000001, т. е. взяли бы n = 1000000, то, рассуждая так же, как прежде, нашли бы, что еще более удобным основанием будет:

(1 + 1/n)ⁿ = 1,000001^1000000

Это число с точностью до восьмого знака равно 2,718 280 47. Оно имеет те же первые шесть цифр, что число е, а в седьмой цифре разнится лишь на единицу. Чем больше взять число n, тем меньше число (1 + 1/n)ⁿ будет отличаться от числа е. Иначе говоря, число е есть предел, к которому стремится (1 + 1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n. Это и есть определение числа е.

Мы видели, что основание 1 + 1/n а значит, и (1 + 1/n)ⁿ, тем точнее позволяет вычислить логарифмы всевозможных чисел, чем больше число n. Естественно ожидать, что наиболее удобным для той же цели будет предел, к которому стремится (1 + 1/n)ⁿ при неограниченном возрастании n, т. е. число е. Так и есть в действительности. Вычисление логарифмов по основанию е совершается быстрее, чем по всякому другому основанию. Способы этого вычисления излагаются в высшей математике.

Самое число е можно выразить десятичной дробью с любой степенью точности; в таблицах можно найти такие приближенные значения е , которые по своей точности превосходят любые практически возможные требования. С полной же точностью число е ни десятичной, ни другой рациональной дробью представить невозможно. Более того, число е не только иррационально, но и трансцендентно (см. Иррациональные числа).

Логарифмы, взятые по основанию е, называются натуральными логарифмами. Часто их называют (исторически неправильно) неперовыми*.

Обозначение. Вместо log_ex принято писать 1nX (знак ln есть сокращение слов «логарифм натуральный»).

Пример. ln 3 = 1,09861.

Чтобы, по известному десятичному логарифму числа N найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа N на десятичный логарифм числа е (последний равен 0,43429...):

ln N = lgN/lge ≈ lgN/0.43429 ≈ 2.30259 LgN

Величина lg е =0,43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М, так что

ln N = 1/M * lg N **

Пример. Нам известно, что lg 2 = 0,30103. Отсюда

ln2 = 1/M * 0,30103 = 0,69315.

Чтобы по известному натуральному логарифму числа N найти его десятичный логарифм, нужно помножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов М = lg е:

lg N = lg е ln N = M ln N ≈ 0,43429 In N.

Пример. ln 3 = 1,09861. Отсюда lg 3 = M * 1,09861 = 0,47712.

* Основанием, которым фактически пользовался Непер, было число 1 - 0,000 0001. Если бы мы захотели все логарифмы таблицы Непера уменьшить в 10 000 000= 10⁷ раз {ср. пример, разобранный выше), то за основание должны были бы взять число (1 - 1/ k)^k, где k = 10⁷, которое можно было бы условно назвать основанием таблицы Непера. Но это число отнюдь не равно числу е (оно очень мало отличается от числа 1/e).

Данные здесь правила перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обратно представляют собой частные случаи общих формул
log_aN = log_bN * log_ab;
log_aN = log_bN/log_ba,
позволяющих перейти от логарифма числа N по основанию b к логарифму того же числа по основанию а. Вторая формула при N = b даст
log_ab = 1/log_ba