Софизм

Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике. Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное-то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать.

Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху. А вот два математических софизма.

«Доказательство», что все числа равны между собой.

Пусть а и b - произвольные числа и пусть а > b, тогда существует такое положительное число с, что а = b + с. Умножим это равенство на а - b и преобразуем полученное равенство:

а² - аb = аb + ас - b² - bс,
а² - аb - ас = аb - b² - bс,
а(а - b - с) = b(а - b - с).

Разделив обе части полученного равенства на (а - b - с), получим, что а = b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (а - b - с), которое равно нулю.

«Доказательство», что все треугольники - равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА = ОС и OD = ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому ∠DАО = ∠ЕСО. В то же время ∠ОАС = ∠ОСА, так как треугольник АОС - равнобедренный. Получаем: ∠ВАС = ∠ОАО + ∠ОАС = ∠ЕСО + ∠ОСА = ∠ВСА.

Итак, угол ВАС равен углу ВС А, поэтому треугольник AВС-равнобедренный: АВ = ВС.

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного пересекаются вне этого треугольника.

И еще один пример софизма.

Посмотрите на рис.2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого – 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки В, Е, F, D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки – той самой лишней клетки.