Совершенные числа

В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248;

Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные изестные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в 3 в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде

2^p-1(2^p - 1)

в том случае, если число 2^p - 1 простое. Простые числа вида 2^p - 1 стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М.Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л.Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.

К настоящему времени числа вида 2^p - 1 проверенны на простоту для всех p до 50 000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при p = 132049. Это число с 3751 десятичным знаком. Соответсвующие ему совершенное число 2⁸⁶⁶²⁴²(2⁸⁶⁶²⁴² - 1) имеет 79502 десятичных знаков. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 10⁵⁰. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.