Объем

Объем - величина, характеризующая размер геометрического тела. В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, нужно определить объем ящика, коробки.

Это несложно подсчитать: объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение величин длины, ширины и высоты. Вес эти измерения должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах.

Ребенок, не знающий формул, может подойти к измерению объема коробки и чисто опытным путем - плотно уложить в нее кубики с сантиметровым ребром. Их число и выразит собою объем коробки в кубических сантиметрах. В основе такого приема лежит правило: объем тела, составленного из непересекающихся тел, равен сумме их объемов.

В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры бушель (36,4 кубических дм) и галлон (4,5 кубических дм ), меры, когда-то применявшиеся в России, - ведро (12 кубических дм) и бочка (490 кубических дм) и др.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы тел, был долог. Например, в древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

Если тело рассечь на части и потом сложить их по-иному, то объем полученного тела будет равен объему исходного. Этим правилом пользуются, отыскивая формулы объемов различных тел. Например, наклонный параллелепипед можно разбить на части и перекомпоновать их таким образом, чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Отсюда следует, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Применяют при вычислении объемов и принцип Кавальери. В этом случае рассматриваются два тела. Они рассекаются плоскостями, параллельными некоторой данной плоскости и равноотстоящими от нее. Если оба получившихся сечения каждый раз будут одинаковы по площади, то будут равны и объемы обоих тел. На основании этого принципа нетрудно вывести формулу для объема призмы и шара.

Объемы сложных тел можно отыскивать, вписывая в них более простые тела. Например, определяя объем пирамиды, можно вписать в нее стопку призм и подсчитать их суммарный объем, затем вписать стопку призм, имеющих меньшую высоту, и вновь подсчитать их суммарный объем и т. д. Повторяя эту процедуру неограниченное число раз и устремляя к нулю высоту вписываемых призм, нетрудно получить в пределе известную формулу для объема пирамиды. Обьем цилиндра можно определить похожим способом, вписывая в него призмы, у которых в основании лежат многоугольники со все увеличивающимся числом сторон. Вписывая - такие же многоугольники в основание конуса и принимая их за основания пирамид, вписанных в конус, нетрудно определить и его объем.

Наиболее общие методы нахождения объемов тел дает интегральное исчисление.