Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют последовательность (an), у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Другими словами, арифметическая прогрессия - это последовательность, заданная по правилу: a1 и d даны, an+1=an+d
при и n>= 1. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:

a n=(an+1+an-1)/2.

Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно и более общее свойство:

an=(an-k+an-+k)/2.

Справедливы следующие формулы (через Sn обозначена сумма первых n членов арифметической прогрессии):

an=(a1+(n-1)*d)/2, (1)

Sn=(2a1+(n-1)*d)/2, (2)

Sn=(a1+an)*n/2. (3)

С формулой (3) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: "Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...+ 40".
Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: "Я уже решил". Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

1, 2, 3,……., 20
+
40, 39, 38…, 21
_______________
41, 41, 41,..., 41

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820.
Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами (см. Фигурные числа), вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа: 1 = 1*1 1 = 1*1*1
1+3 = 2*2 3+5 = 2*2*2
1+3+5 = 3*3 7+9+11 = 3*3*3
1+3+5+7 = 4*4 13+15+17+19 = 4*4*4

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты (см. Магические и латинские квадраты). Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны (рис. 1). Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера "Меланхолия".