Средние величины
Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин, называется «средней».
Из средних величин наиболее употребительны средняя арифметическая и средняя геометрическая.
Средняя арифметическая (или среднее арифметическое) получается от сложения данных величии и деления суммы на число
этих величин:
(a1, a2, …an – данные величин, n– их число).
Пример. Даны числа 83,87,81,90.
Среднее геометрическое получается от перемножения данных величин и извлечения из произведения корня, показатель которого равен числу величин:
(a1, a2, …an – данные величин, n– их число).
Пример. Даны числа 40, 50, 82.
Среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического, кроме того случая, когда все взятые числа, равны. Тогда ср. ар. равно ср. геом. Когда различия между взятыми числами составляют малые доли самих чисел, то и разность между ср. ар. и ср. геом. мала в сравнении с ними.
Вычисление ср. ар. имеет большое значение во всех областях практики.
Пример 1. Измеряется расстояние между двумя пунктами с помощью 10-метровой рулетки с сантиметровыми делениями. Сделано 10 промеров. Результаты их (в метрах): 62,36; 62,30; 62,32; 62,31; 62,36; 62,35; 62,33; 62,32; 62,38; 62,37. Различие результатов объясняется случайными неточностями измерений. Тогда вычисляют среднюю арифметическую:
Это число представляет более надежную величину измеряемого расстояния, чем числа, полученные при измерении, потому что случайные ошибки почти всегда компенсируются при вычислении среднего.
Пример 2. У тысячи взрослых людей измерен рост. Найдена ср. ар. Это — так называемый «средний рост». Он не выражает, вообще говоря, роста определенного человека. Но если измерить рост большого числа других людей и снова вычислить ср. ар., то средний рост окажется почти таким же. Разумеется, теоретически возможны случаи, когда в группе из 1000 лиц будут преобладать великаны или карлики. Но из числа всех мыслимых случаев эти исключительные случаи составляют, как показывают вычисления, ничтожнейший процент. Поэтому практически безошибочно можно считать, что в любой группе из 1000 человек средний рост будет почти одинаковым. Средние арифметические, найденные из массовых измерений, называются статистическими средними. Статистические средние имеют большое практическое значение. Например, зная средний удой коровы определенной породы при определенных условиях ее питания и т, д., можно вычислить удой стада, помножая средний удой на число коров в стаде.