Погрешность произведения

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. (О точной величине предельной погрешности см. замечание, к примеру 1.)

Пример 1. Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4 %, а второго 0,5 %. Тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%. В самом деле, предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть 50 • 0,004 = 0,2, а второго 20 • 0,005 = 0,1. Поэтому истинная величина произведения не больше, чем (50 + 0,2) (20 + 0,1) = 1009,02, и не меньше, чем (50 — 0,2) (20 — 0,1) = 991,02. Если истинная величина произведения есть 1009,02, то погрешность произведения равна 1009,02 — 1000 = 9,02, а если 991,02, то погрешность произведения равна 1000 - 991,02 = 8,98. Рассмотренные два случая — самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02. Предельная относительная погрешность равна 9,02 : 1000 = 0,9020%, т. е. приближенно 0,90 %.

Замечание. Обозначим предельную относительную погрешность произведения буквой δ, а предельную относительную погрешность сомножителей — буквами δ1 и δ2 (в примере 1 δ1 = 0,004, δ2 = 0,005; δ = 0,00902). Наше правило (для двух сомножителей) запишется так:

δ ≈ δ1 + δ2

Точное же выражение δ будет:

δ = δ1 + δ2+ δ1δ2

Т.е. предельная относительная погрешности произведения всегда больше, чем сумма предельных относительных погрешностей сомножителей; она превышает эту сумму на произведение относительных погрешностей сомножителей.
Это превышение обычно так невелико, что его не приходится учитывать. В условиях примера имеем δ = 0,004+0,005+0,004•0,005 = 0,00902. Превышение здесь составляет 0,00902 - 0,009 = 0,00002, т.е. около 0,2 % от приближенной величины предельной относительной погрешности. Это превышение столь незначительно, что его нет смысла учитывать.

Пример 2. Пусть перемножаются приближенные числа 53,2 и 25,0. Предельная абсолютная погрешность каждого есть 0,05. Поэтому δ1 = 0,05:53,2 = 0,0009; δ2 = 0,05:25,0 = 0,002. Предельная относительная погрешность произведения 53,2 • 25,0= 1 330 приближенно равна 0,0009+0,0020 = 0,0029.

Величина δ1δ2 = 0,0009 • 0,002 = 0,0000018 столь мала, что учитывать её нет смысла. Предельная абсолютная погрешность произведения 1330 равна 1330 • 0,029 ≈ 40, так что последние два знака произведения могут быть неверными.

Пример 3. Найти объем комнаты по данным измерения: длина 4,57 м, ширина 3,37 м, высота 3,18 м (предельные абсолютные погрешности 0,005 м). Перемножая данные числа, находим, что объем составляет 48,974862 м3. Но здесь, лишь две цифры безусловно верны, уже в третьей цифре может быть небольшая погрешность. Действительно, предельные относительные погрешности сомножителей равны: δ1 = 0,005:4,57 ≈ 0,0011; δ2 = 0,005:3,37 ≈ 0,0015; δ3 = 0,005:3,18 ≈ 0,0016. Предельная относительная погрешность произведения есть δ = 0,0011 + 0,015 + 0,0016 = 0,0042. Предельная абсолютная погрешность произведения Δ ≈ 49,0 * 0,0042 ≈ 0,21. Поэтому уже третья значащая цифра произведения ненадежна. Значит, нужно считать, что объем комнаты составляет 49,0 м3.