Основные свойства логарифмов. Формулы

Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени х, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N.

Обозначение: log_aN = x. Запись log_aN = x равнозначна записи a^x = N.

Примеры. log₂8 = 3, так как 2³ = 8; log_1/216 = -4, так как (1/2)^-4 = 16; log_1/2(1/8) = 3, так как (1/2)³ = 1/8.

Из определения логарифма вытекает следующее тождество:

a^log_aN = N

Примеры. 2^log₂8 = 8, т. е. 2³ = 8; 5^log₅25 = 25; 10^{lg N} = N*.

Числа а (основание логарифма) и N (число) можно брать целыми и дробными (см. примеры), но непременно положительными, если мы хотим, чтобы логарифмы были действительными числами.

Сами же логарифмы могут быть и отрицательны; отрицательные логарифмы столь же важны на практике, как положительные.

Если за основание логарифмов взять число, большее единицы (например, число 10), то большее число имеет больший логарифм. Логарифмы чисел, больших единицы, положительны, меньший единицы - отрицательны. Логарифм единицы при любом основании равен нулю. Логарифм числа, равного основанию, всегда есть 1 (в десятичных логарифмах lg 10 = 1)^**.

Свойство 1

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log (N₁N₂) = log N₁ + log N₂.

Свойство 2

Логарифм частного равен разности между логарифмом числителя и логарифмом знаменателя:

log N₁/N₂ = log N₁ - log N₂

Свойство 3

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

log N^m = m log N

Свойство 4

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня:

log^m√N = logN/m

(следствие предыдущего свойства, ибо ^m√N = N^1/m).

ВНИМАНИЕ!!! Предостережение. Логарифм суммы не равен сумме логарифмов; нельзя вместо log (a + b) писать log a + log b. Эта ошибка часто делается.

Прологарифмировать некоторое выражение — значит выразить его логарифм через логарифмы входящих в это выражение величин.

*Знаком lg без указания основания обозначается десятичный логарифм; знаком log без указания основания — логарифм по произвольному основанию (в пределах одной формулы это основание считается одним и тем же).

** Основание логарифма (а) не должно равняться единице; иначе у чисел, не равных единицы, совсем не будет логарифма, а для единицы всякое число будет логарифм.