Деление комплексных чисел

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
Определение. Разделить комплексное число а +bi (делимое) на комплексное число а' + b'i (делитель) - значит найти такое число x+yi (частное), которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда можно; и частное единственно (доказательство см. в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.
Пример 1. Найти частное (7 – 4i) : (3 + 2i).
Записав дробь , расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 +2i.Получим:

Пример 1 предыдущего параграфа дает проверку.
Пример 2.
Пример 3.Здесь проще всего сократить на (-2 + 7i).
Поступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
(1)
Чтобы доказать, что правая часть (1) действительно является частным, достаточно помножить ее на а' + b'i. Получим a + bi.
Замечание 1. Формулу (1) можно было бы принять за определение деления.
Замечание 2. Формулу (1) можно вывести еще следующим образом. Согласно определению мы должны иметь: (а' + b'i) (х + yi) = а + bi.
Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения:
а'х - b'у = a       b 'х + а'у = b.    (2)
Эта система имеет единственное решение:

если), т.е. если a'² + b'² ≠ 0.
Остается рассмотреть случай а'² + 6'² = 0. Он возможен лишь тогда (числа а' и b' действительны!), когда а' = 0 и b' = 0, т. е, когда делитель а' + b'i равен нулю.

Если при этом и делимое а + bi равно нулю, то частное неопределенно. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).