Умножение комплексных чисел

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы
1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы
2) число i обладало свойством i2 = - 1. В силу требования
1) произведение (а + bi) (а' + b'i) должно равняться аа' + (ab' + +ba') i + bb'i2, а в силу требования 2) это выражение должно равняться (аа' - bb') + (ab'+ba')i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.
Определение. Произведением комплексных чисел а + bi и а' + b'i называется комплексное число

(aa' — bb') + (ab' + ba')i. (1)
Замечание 1. Равенство i² = - 1 до установления правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i², т. е. i • i, равнозначна записи (0 + 1• i)(0 + 1•i). Здесь а = 0, b = 1, а' = 0, b'= 0. Имеем аа' - bb' = - 1, ab' + ba' = 0, так что произведение есть - 1 + 0i, т. е. – 1.
Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться формулой (1). Можно перемножить данные числа как двучлены, а затем положить i² = - 1.
Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i² = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.
Пример 2. (а + bi) (а - bi) = а² + b² Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число*.




*Но произведение двух несопряженных комплексных чисел тоже может быть действительным положительным числом; например, (2 + 3i) (4 – 6i) = 26. Если же сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то эти комплексные числа непременно сопряженные.