Уравнения высших степеней, разрешаемые с помощью квадратного уравнения
Некоторые алгебраические уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному. Вот важнейшие случаи.
1. Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый - многочлен не выше 2-й
степени. Тогда, приравнивая каждый множитель по отдельности к нулю, решаем полученные уравнения. Найденные корни будут корнями исходного уравнения.
Пример 1. x4 + 5x3 + 6x2 = 0.
Многочлен x4 + 5x3 + 6x2 легко разлагается на множители x2 и (x2 + 5x + 6).
Решаем уравнение x2 = 0; оно имеет два равных корня: х1 = х2 = 0.
Решаем ypaвнение x2 + 5x + 6 =0. Обозначив его корни x3 и х4, имеем x3 = - 2,
х4 = - 3. Корни исходного уравнения суть x1 = х2 = 0; x3 = -2; х4 = - 3.
Пример 2. Решить уравнение х3 = 8.
Переписав его в виде х3 - 8 = 0, разложим на множители левую часть: x3 - 8 = (х - 2) (х3 + 2х + 4). Уравнение х - 2 = 0 дает x1 = 2,
уравнение (х2 + 2х + 4) = 0 дает х2 = - 1 +
; х3 = - 1 - .
Итак, уравнение x3 = 8 имеет один действительный корень и два мнимыx.
Иными словами,
, кроме очевидного действительного значения 2, имеет еще два мнимых.
2. Если уравнение имеет вид ах2 + bx + c = 0, его можно свести к квадратному, введя новое неизвестное xn = z.
Пример 3. х4 - 13х2 + 36 = 0. Переписав это уравнение в виде (х2)2 – 13x2 + 36 = 0, введем новое неизвестное x2 = z.
Уравнение примет вид z2 -13z + 36 = 0. Корни его z1 = 9, z2 = 4.
Решаем теперь уравнения x1 = 9; x2 = 4. Первое имеет корни x1 = 3, х2 = - 3,
второе - корни х3 = 2, х4 = - 2. Корни заданного уравнения cyть 3; - 3; 2; -2.
Таким образом можно решить всякое уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0. Его называют биквадратным.
Пример 4. х6 - 16х3 + 64 = 0. Представляя это уравнение в виде (х5)2 -16x3 + 64 = 0, вводим
новое неизвестное х3 = z. Получаем уравнение z2 – 16z + 64 = 0, имеющее два равных корня z1 = z2 = 8.
Решаем, уравнение x3 = 8; получаем (см. пример 2) x1 = 2; х2 = - 1 +; х3 = - 1 - .
Другие три корня в данном случае (так как z1 = z2) равны этим трем.