Действия с корнями. Правила. Примеры решения


Действия с корнями

В нижеприведенных формулах знаком обозначена абсолютная величина корня. 1. Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное количество в степень n:


Пример 1.

2. Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного количества:

Пример 2.

Замечание. Это свойство останется в силе и в том случае, когда число m/n не будет целым; точно так же оба вышеуказанных свойства сохранят силу и для n дробного. Но для этого нужно сначала расширить понятие степени и корня, введя дробные показатели.

3. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

Пример 3.

Последнее преобразование основывается на свойстве 2.

Пример 4.

Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных количеств:

Пример 5.

4. Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней разумеются одинаковыми):

Обратно:

Пример 6.

5. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное количество:

Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточна, возвести в эту степень корень из основания степени:

Пример 7.

Пример 8.

6. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе дроби. Вычисление пробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно «уничтожить иррациональность» в числителе или знаменателе, т. е. преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.

Пример 9. Пусть требуется вычислить- с точностью до 0,01. Если произвести действия в указанном порядке, то мы имеем:

1) ≈2,646;
2) ≈2,449;
3) 2,646 - 2,449 = 0,197;
4) ≈5,10.

Для получения результата нужно было выполнить четыре действия; при этом, чтобы получить верные цифры сотых, нужно было вычислить корни с точностью до тысячных, в противном случае и делителе дробиполучились бы только две значащие цифры и в результате не могло бы быть трех верных значащих цифр.

Если же предварительно помножим числитель и знаменатель данной дроби на ,то получим:

Теперь вычисление требует только трех действий, и корни можно вычислять лишь с точностью до сотых:

1) ≈2,65; 2) ≈ 2,45; 3) ≈ 5,10.

Ниже приводится еще несколько типичных примеров.

Пример 10.
Пример 11.

В этих примерах иррациональность уничтожалась в знаменателе. В следующих двух примерах она уничтожается в числителе.

Пример 12.
Пример 13.

Преобразование в примере 12 явно невыгодно для вычислительных целей, так как вычисление выражения требует деления на многозначное число; вычисление же (см. пример 10) требует деления на целое число. Но преобразование в примере 13 выгодно, так как позволяет вычислять корни и со столькими знаками, сколько их требуется иметь в результате. В исходном же выражении нужно извлекать корни с большим числом знаков (см. пример 9). Поэтому принятое в школьной практике огульное уничтожение иррациональности в знаменателе представляет вредную схоластическую традицию.

Яндекс.Метрика