Общие формулы и особые случаи решения
системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Решение системы уравнений вида

ax + by = c, (1)
a1x + b1y = c1 (2)
можно получать быстрее, если применять раз навсегда выведенные общие формулы. Последние можно получить любым способом, например способом сложения и вычитания. Решение будет иметь вид
(3)
(4)
Эти формулы очень легко запомнить, если ввести для числителей и знаменателей следующее условное обозначение. Условимся знаком обозначать выражение ps - rq, получающееся крестообразным умножением

и последующим вычитанием одного произведения из другого (со знаком + берется то произведение, которое принадлежит диагонали,опускающейся вправо).
Например, знак означает 5•1 – 2•(- 8) = 5 + 16 =21.
Выражение= ps - rq называют определителем второго порядка (в отличие от определителей третьего, четвертого и т.д. порядков, вводимых при решении систем уравнений 1-й степени с тремя, четыремя и т.д. неизвестными).
С помощью введенных обозначений формулы (3) и (4) запишутся так:
(5) (6)
т. е. каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель которой есть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном на свободные члены.
Пример. Решить систему:
8x - 3y = 46,
5x + 6y = 13.


Исследование показывает, что при решении систему (1) - (2) могут представиться три существенно различных случая.
1) Коэффициенты уравнений (1), (2) непропорциональны:. Тогда, каковы бы ни были свободные члены уравнение имеет единственное решение, представляемое формулами (3), (4), или, что то же самое, формулами (5), (6).
2) Коэффициенты уравнений (1), (2) пропорциональны:. Тогда важно знать, находятся ли в том же отношении и свободные члены. Если находятся, т.е. если, то система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Причина этого та, что в рассматриваемом случае одни из уравнений есть следствие другого, так что фактически у нас одно уравнение, а не два.
Пример. В системе
10x + 6y = 18
5x + 3y = 9
коэффициенты при неизвестных х и у пропорциональны:В том же отношении находятся и свободные члены: 18/9 = 2. Одно из уравнений есть следствие другого; именно, первое получается из второго умножением обеих частей последнего на 2. Любое из бесчисленного множества решений одного из уравнений служит решением и другого.
3) Коэффициенты уравнений пропорциональны:, но свободные члены не находятся в том же отношении. Тогда система не имеет решений, потому что уравнения друг другу противоречат. 10x + 6y = 20,
5x + 3y = 9
коэффициенты пропорциональны:. Отношение же свободных членов иное, чем отношение коэффициентов: Система не имеет решений, потому что, помножив второе уравнение на 2, имеем 10x - 6у = =18, что противоречит первому уравнению, ибо одно и то же выражение 10x + 6y не может равняться и 18 и 20.