Классификация уравнений

Уравнение называется алгебраическим, если каждая из его частей есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам.

Примеры. bx + ay²= xy + 2^m - алгебраическое уравнение с двумя неизвестными; но уравнение bx + ay² = xy + 2^x не алгебраическое, потому что правая часть равенства - не многочлен относительно букв х, у (слагаемое 2^x не есть одночлен относительно буквы х).

Степень алгебраического уравнения. Перенесем все члены алгебраического уравнения в одну его часть и произведем приведение подобных его членов; если уравнение после этого содержит только одно неизвестное, то степенью уравнения называют наибольший из показателей при неизвестном. Если уравнение содержит несколько неизвестных, то для каждого члена уравнения составляем сумму показателей при всех входящих в него неизвестных. Наибольшая из этих сумм называется степенью уравнения.

Пример 1. Уравнение 4х³ + 2x² - 17х = 4x³ - 8 есть уравнение второй степени, так как после перенесения всех членов в левую часть уравнения последнее примет вид 2x² -17x + 8 =0

Пример 2. Уравнение а⁴x + b⁵ = с⁵ есть уравнение первой степени, так как высшая степень неизвестного х - первая.

Пример 3. Уравнение a²x⁵ + bx³y³ - a⁸xy⁴ – 2 = 0 есть уравнение 6-й степени, так как суммы показателей степеней при неизвестных х и у составляют 5 для первого и третьего члена, 6 для второго и нуль для четвертого; наибольшая из этих сумм есть 6.

Часто к числу алгебраических относят и такие уравнения, решение которых приводится к решению алгебраических уравнений. Степенью такого уравнения называют степень того алгебраического уравнения, к которому оно приводится.

Пример 4. Уравнение есть уравнение второй степени, хотя в него вторая степень неизвестного прямо не входит. Но если заменить его (равносильным ему) алгебраическим уравнением (освободиться от знаменателя), то оно примет вид 2х² - Зх - 1 = 0. Уравнение первой степени (с любым числом неизвестных) называется также линейным уравнением.