Пропорции

Определение отношения и пропорции смотрите в разделе Арифметика , раздел 47. Из пропорции вытекает ad=bc (произведение средних членов равно произведению крайних); обратно, из ad=bc вытекают пропорции

; ;
и др. Все эти пропорции можно получить из исходной с помощью этих правил.
1. В пропорции можно менять местами средние или крайние члены или те и другие.
Получаем:
; ; .
2. В пропорции можно менять местами предыдущие и последующие члены обоих ее отношений. Из получается . Эта пропорция уже получена выше; (в виде ). Точно так же ничего нового не получим, переставляя предыдущие и последующие члены в трех выше найденных пропорциях.
Производные пропорции. Если , то справедливы и следующие пропорции (так называемые производные пропорции), получаемые из данной:
; ; ; ;
; ; . ;
; ; ;
; .
Эти и множество подобных им производных пропорций могут быть объединены в двух основных формах:
, (1)
, (2)
где m, n, m1, n1 – любые числа*.
Так полагая в формуле (1) m = n = m1 =1, n1=0, получим производную пропорцию
полагая в формуле (2) m = n = m1 =1, n1=0, имеем или, переставляя средние члены, = и т. д.


*Форма (2) может быть получена по тому же правилу, что и (1), если предварительно переставить средние члены в данной пропорции.